Acerca de la existencia de órbitas periódicas y cuencas de atracción de un sistema suave a tramos

Abstract

En este artículo se presenta un estudio analítico de la existencia de puntos fijos y 2-ciclos para un sistema dinámico asociado a una familia cuadrática a tramos con tres parámetros de bifurcación.  Se realiza un análisis de la estabilidad de los puntos fijos hallados teniendo en cuenta el criterio de la derivada y calculando sus respectivas cuencas de atracción. Se demuestra que al variar cierto parámetro en un intervalo real, uno de los puntos fijos posee una cuenca de atracción que consta de un intervalo acotado semi-abierto, mientras que para otros valores del parámetro, su cuenca de atracción está formada por una cantidad enumerable de intervalos cerrados y acotados, cuya longitud tiende a cero. Se hace un estudio detallado de la segunda iteración de la función y se demuestra que bajo estas condiciones de los parámetros no existen 2-ciclos.  Mediante simulación numérica del sistema, se obtienen ilustraciones de los respectivos diagramas de bifurcación y cuencas de atracción, los cuales coinciden bastante bien con resultados obtenidos analíticamente.